"Der Weiße Stecker, der auf den Z.luftschieber passt...." Ist die Lambdasondenheizung, das betrifft meines Wissens nur Japanmodelle.
"Ein anderer 2 Poliger Stecker war mit Kabelbindern....." Hier kann mit den VAG Tester oder auch einem guten Multimeter das Taktverhältnis für Prüf- oder Einstellarbeiten abgegriffen werden.
"Dann haben wir hier auch noch diesen Unterdruckschlauch mit dem elektrischen Ventil, der einfach in einer Schraube endet."
(Fast) genau so soll es sein, natürlich nicht mit einer Schraube im Schlauch. Werkseitig sieht es so aus:

Was mich etwas wundert, ist der lose Stecker und die Rumflickerei mit den Schnellverbindern hier:

Dein Problem "Der Motor springt jetzt erstmal gut an aber nach einer Minute Leerlauf fällt die Drehzahl und der Motor geht aus." klingt sehr nach Schwierigkeiten mit dem Zusatzluftschieber und / oder Warmlaufregler. Wenn sich diese Bauteile nach dem Starten nicht anpassen können, treten genau diese Probleme auf. Beide Bauteile werden elektrisch beheizt und müssen mechanisch in Ordnung sein. Wenn der Motor läuft muss Betriebsspannung anliegen, außerdem müssen die Widerstandwerte der beiden Bauteile passen. Der Warmlaufregler lässt sich zusätzlich noch mechanisch mit einer Benzindruckmessuhr prüfen. Hier wird dann der Steuerdruck gemessen. Zusätzlich wäre dann noch, aufgrund der Heißstartschwierigkeiten, eine Messung des Haltedrucks sehr sinnvoll.